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六年级奥数知识点之和差与倍数的应用题

试题 时间:2018-06-23 我要投稿

六年级奥数知识点之和差与倍数的应用题

  和、差与倍数的应用题

六年级奥数知识点之和差与倍数的应用题

  做应用题是一种很好的思维锻炼.做应用题不但要会算,而且要多思考,善于发现题目中的数量关系,可以说做应用题是运用数学的开始.

  加、减、乘是最基本的运算,和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练,就从这

  一、和差问题

  说到“和差问题”,小学高年级的同学,人人都会说:“我会!”和差问题的计算太简单了.是的,知道两个数的和与差,求两数,有计算公式:

  大数=(和+差)÷2

  小数=(和-差)÷2

  会算,还要会灵活运用,要把某些应用题转化成和差问题来算.

  先看几个简单的例子.

  例1张明在期末考试时,语文、数学两门功课的平均得分是95分,数学比语文多得8分,张明这两门功课的成绩各是多少分?

  解:95乘以2,就是数学与语文两门得分之和,又知道数学与语文得分之差是8.因此

  数学得分=(95×2+8)÷2=99.

  语文得分=(95×2-8)÷2=91.

  答:张明数学得99分,语文得91分.

  注:也可以从95×2-99=91求出语文得分.

  例2有A,B,C三个数,A加B等于252,B加C等于197,C加A等于149,求这三个数.

  解:从B+C=197与A+C=149,就知道B与A的差是197-149,题目又告诉我们,B与A之和是252.因此

  B=(252+197-149)÷2=150,

  A=252-150=102,

  C=149-102=47.

  答:A,B,C三数分别是102,150,47.

  注:还有一种更简单的方法

  (A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).

  上面式子说明,三数相加再除以2,就是三数之和.

  A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此

  C=299-252=47,

  B=299-149=150,

  A=299-197=102.

  例3甲、乙两筐共装苹果75千克,从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里,甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克?

  解:画一张简单的示意图,

  就可以看出,原来甲筐苹果比乙筐多

  5+7+5=17(千克)

  因此,甲、乙两数之和是75,差为17.

  甲筐苹果数=(75+17)÷2=46(千克).

  乙筐苹果数=75-46=29(千克).

  答:原来甲筐有苹果46千克,乙筐有苹果29千克.

  例4张强用270元买了一件外衣,一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元,买外衣和鞋比帽子多花210元,张强买这双鞋花多少钱?

  解:我们先把外衣和鞋看成一件东西,它与帽子的价格和是270元,差是210元.

  外衣和鞋价之和=(270+210)÷2=240(元).

  外衣价与鞋价之差是140,因此

  鞋价=(240-140)÷2=50(元).

  答:买这双鞋花50元.

  再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算,那么就可以说,“和差问题”的解法,你已能灵活运用了.

  例5李叔叔要在下午3点钟上班,他估计快到上班时间了,到屋里看钟,可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针,匆匆离家,到工厂一看钟,离上班时间还有10分钟.夜里11点下班,李叔叔马上离厂回到家里,一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同,那么他家的钟停了多少时间(上发条所用时间忽略不计)?

  解:到厂时看钟是2点50分,离家看钟是12点10分,相差2小时40分,这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有

  钟停的时间+路上用的时间=160(分钟).

  晚上下班时,厂里钟是11点,到家看钟是9点,相差2小时.这是由于钟停的时间中,有一部分时间,被回家路上所用时间抵消了.

  因此

  钟停的时间-路上用的.时间=120(分钟).

  现在已把问题转化成标准的和差问题了.

  钟停的时间=(160+120)÷2=140(分钟).

  路上用的时间=160-140=20(分钟).

  答:李叔叔的钟停了2小时20分.

  还有一种解法,可以很快算出李叔叔路上所用时间:

  以李叔叔家的钟计算,他在12点10分出门,晚上9点到家,在外共8小时50分钟,其中8小时上班,10分钟等待上班,剩下的时间就是他上班来回共用的时间,所以

  上班路上所用时间=(8小时50分钟-8小时-10分钟)÷2=20(分钟).

  钟停时间=2小时40分钟-20分钟

  =2小时20分钟.

  例6小明用21.4元去买两种贺卡,甲卡每张1.5元,乙卡每张0.7元,钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数,把乙卡张数算作甲卡张数,要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张?

  解:甲卡与乙卡每张相差1.5-0.7=0.8(元),售货员错找还小明3.2元,就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(张).

  现在已有两种卡张数之差,只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢?请注意

  1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.

  1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.

  从上面两个算式可以看出,两种卡张数之和是

  [21.4+(21.4-3.2)]÷(1.5+0.7)=18(张).

  因此,甲卡张数是

  (18+4)÷2=11(张).

  乙卡张数是18-11=7(张).

  答:小明买甲卡11张、乙卡7张.

  注:此题还可用鸡兔同笼方法做,请见下一讲.

  例7有两个一样大小的长方形,拼合成两种大长方形,如右图.大长方形(A)的周长是240厘米,大长形(B)的周长是258厘米,求原长方形的长与宽各为多少厘米?

  解:大长方形(A)的周长是原长方形的

  长×2+宽×4.

  大长方形(B)的周长是原长方形的

  长×4+宽×2.

  因此,240+258是原长方形的

  长×6+宽×6.

  原长方形的长与宽之和是

  (240+258)÷6=83(厘米).

  原长方形的长与宽之差是

  (258-240)÷2=9(厘米).

  因此,原长方形的长与宽是

  长:(83+9)÷2=46(厘米).

  宽:(83-9)÷2=37(厘米).

  答:原长方形的长是46厘米、宽是37厘米

  二、倍数问题

  当知道了两个数的和或者差,又知道这两个数之间的倍数关系,就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.

  例8有两堆棋子,第一堆有87个,第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆,就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.

  解:两堆棋子共有87+69=156(个).

  为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍,就要把156个棋子分成1+3=4(份),即每份有棋子

  156÷(1+3)=39(个).

  第一堆应留下棋子39个,其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是

  87-39=48(个).

  答:应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.

  例9有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书?

  解:我们画出下列示意图:

  我们把第一层(拿走38本后)余下的书算作1“份”,那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本,即

  173-38-6=129(本)

  恰好是3份,每一份是

  129÷3=43(本).

  因此,第二层的书共有

  43×2+6=92(本).

  答:书架的第二层有92本书.

  说明:我们先设立“1份”,使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法,特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上,更是一目了然.

  例10某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人,全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人?

  解:设六年级学生人数是“1份”.

  男生是4份-23人.

  女生是3份+11人.

  全校是7份-(23-11)人.

  每份是(975+12)÷7=141(人).

  男生人数=141×4-23=541(人).

  女生人数=975-541=434(人).

  答:有男生541人、女生434人.

  例9与例10是一个类型的问题,但稍有差别.请读者想一想,“差别”在哪里?

  70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双?

  解:为了计算方便,把原来旅游鞋算作4份,售出1份,还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6(份).400+70将是3+1+6=10(份).每份是

  (400+70)÷10=47(双).

  原有旅游鞋47×4=188(双).

  原有皮鞋47×6-70=212(双).

  答:原有旅游鞋188双,皮鞋212双.

  设整数的份数,使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化,使思考、计算都较简捷.因此,“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.

  下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.

  年龄问题是小学算术中常见的一类问题,这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是:两个人的年龄差总保持不变.

  例12父亲现年50岁,女儿现年14岁.问几年前,父亲的年龄是女儿年龄的5倍?

  解:父女相差36岁,这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时,父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的(5-1)倍.

  36÷(5-1)=9.

  当时女儿是9岁,14-9=5,也就是5年前.

  答:5年前,父亲年龄是女儿年龄的5倍.

  例13有大、小两个水池,大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.

  解:画出下面示意图:

  我们把小水池注入水后的水量算作1份,大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出,因为注入两个水池的水量相等,所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.

  因此每份是

  (300-70)÷2=115(立方米).

  要注入的水量是

  115-70=45(立方米)?

  答:每个水池要注入45立方米的水.

  例13与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.

  例14今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?

  解:当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时,我们设那时弟弟的岁数是1份,哥哥的岁数是2份,那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的,今年他们的年龄仍相差1份.

  题目又告诉我们,那时哥哥岁数,与今年弟弟的岁数相同,因此今年弟弟的岁数也是2份,而哥哥今年的岁数应是2+1=3(份).

  今年,哥弟俩年龄之和是

  3+2=5(份).

  每份是55÷5=11(岁).

  哥哥今年的岁数是11×3=33(岁).

  答:哥哥今年33岁.

  作为本节最后一个例子,我们将年龄问题进行一点变化.

  例15父年38岁,母年36岁,儿子年龄为11岁.

  问多少年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍?

  解:现在父母年龄之和是

  38+36=74.

  现在儿子年龄的4倍是11×4=44.相差

  74-44=30.

  从4倍来考虑,以后每年长1×4=4,而父母年龄之和每年长1+1=2.

  为追上相差的30,要

  30÷(4-2)=15(年)?

  答:15年后,父母年龄之和是儿子年龄的4倍.

  请读者用例15的解题思路,解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.

  请读者想一想,例15的解法,与例12的解法,是否不一样?各有什么特点?

  我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式:

  (14×5-50)÷(5-1)=5(年).

  不过要注意14×5比50多,因此是5年前.

  三、盈不足问题

  在我国古代的算书中,《九章算术》是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章,讲了一类盈不足问题,其中第一题,用现代的语言来叙述,就是下面的例题.

  例16有一些人共同买一些东西,每人出8元,就多了3元;每人出7元,就少了4元。那么有多少人?物价是多少?

  解:“多3元”与“少4元”两者相差

  3+4=7(元).

  每个人要多出8-7=1(元).

  因此就知道,共有7÷1=7(人),物价是

  8×7-3=53(元).

  答:共有7个人一起买,物价是53元.

  上面的3+4可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是

  总数相差数÷每份相差数=份数

  这样的问题在内容上有很多变化,形成了一类问题,我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.

  例17把一袋糖分给小朋友们,每人分10粒,正好分完;如果每人分16粒,就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒?

  解一:3位小朋友本来每人可以分到10粒,他们共有的10×3=30(粒),分给其余小朋友,每人就可以增加16-10=6(粒),因此其余小朋友有

  10×3÷(16-10)=5(人).

  再加上这3位小朋友,共有小朋友5+3=8(人).这袋糖有

  10×(5+3)=80(粒).

  解二:如果我们再增加16×3粒糖,每人都可以增加(1-10)粒,因此共有小朋友

  16×3÷(16-10)=8(人)?

  这袋糖有80粒.

  答:这袋糖有80粒.

  这里,16×3是总差,(16-10)是每份差,8是份数.

  例18有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,每条船正好坐6人;如果减少一条船,每条船正好坐9人.这个班共有多少名同学?

  解:如果每条船坐6人,就要增加一条船,也就是现在有6个人无船坐;如果每条船坐9人,可以减少一条船,也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船的人数,两者相差6+9=15(人).

  这是由于每条船多坐(9-6)人产生的,因此共有船

  (6+9)÷(9-6)=5(条)?

  这个班的同学有6×5+6=36(人).

  答:这个班有36人.

  例19小明从家去学校,如果每分钟走80米,能在上课前6分钟到校,如果每分钟走50米,就要迟到3分钟,那么小明的家到学校的路程有多远?

  解一:以小明从家出发到上课这一段时间来算,两种不同速度所走的距离,与小明家到学校的距离进行比较:如果每分钟走80米,就可以多走80×6(米);如果每分钟走50米,就要少走50×3(米).请看如下示意图:

  因此我们可以求出,小明从家出发到上课这段时间是

  (80×6+50×3)÷(80-50)=21(分钟).

  家至学校距离是

  800×(21-6)=1200(米)?

  或50×(21+3)=1200(米).

  答:小明家到学校的路程是1200米.

  解二:以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间,作为思考的出发点.

  用每分钟50米速度,就要多用6+3=9(分种).这9分钟所走的50×9(米),恰好补上前面少走的.因此每分钟80米所需时间是

  50×(6+3)÷(80-50)=15(分钟)?

  再看两个稍复杂的例子.

  例20一些桔子分给若干个人,每人5个还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人,那么每人分2个桔子还缺少8个,问有桔子多少个?

  解:使人感到困难的是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.

  假设还有10个桔子,10=2×5,就可以多有5个人,把“少5人”这一条件暂时搁置一边,只考虑3倍人数,也相当于按原人数每人给2×3=6(个).

  每人给5个与给6个,总数相差

  10+10+8=28(个).

  所以原有人数28÷(6-5)=28(人).

  桔子总数是5×28+10=150(个).

  答:有桔子150个.

  例21有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆,梨分完时还剩5个苹果,如果按每3个苹果5个梨分堆,苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少?

  解一:我们设想再有10个梨,与剩下5个苹果一起,按“1个苹果、2个梨”前一种分堆,都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看,苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆,每3堆并成一大堆,每堆有3个苹果,2×3=6(个)梨.与后一种分堆比较:

  每堆苹果都是3个.而梨多1个(6-5=1).梨的总数相差

  设想增加10个+剩下5个=15个.

  (10+5)÷(6-5)=15.

  就知有15个大堆,苹果总数是

  15×3=45(个).

  梨的总数是(45-5)×2=80(个).

  答:有苹果45个、梨80个.

  解二:用图解法.

  前一种分堆,在图上用梨2份,苹果1份多5个来表示.

  后一种分堆,只要添上3个苹果,就可与剩的5个梨又组成一堆.梨算作5份,苹果恰好是3份.

  将上、下两图对照比较,就可看出,5+3=8(个)是下图中“半份”,即1份是16.梨是5份,共有16×5=80(个).苹果有16×2.5+5=45(个).

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