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高一数学必修五的知识点总结

总结 时间:2017-10-19 我要投稿

高一数学必修五的知识点总结

  数学的学习最重要的是学会归纳和总结。下面是小编为大家整理的高一数学必修五知识点总结。希望对大家的学习有所帮助。

高一数学必修五的知识点总结

  一、集合有关概念

  1. 集合的含义

  2. 集合的中元素的三个特性:

  (1) 元素的确定性,

  (2) 元素的互异性,

  (3) 元素的无序性,

  3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

  ? 注意:常用数集及其记法:

  非负整数集(即自然数集) 记作:N

  正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

  1) 列举法:{a,b,c……}

  2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

  3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4) Venn图:

  4、集合的分类:

  (1) 有限集 含有有限个元素的集合

  (2) 无限集 含有无限个元素的集合

  (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

  二、集合间的基本关系

  1.“包含”关系—子集

  注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

  反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

  2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)

  实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

  即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

  ②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)

  ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

  ④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

  3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

  有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

  三、集合的运算

  运算类型 交 集 并 集 补 集

  定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.

  由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).

  设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

  三、函数的有关概念

  1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

  注意:

  1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

  求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被开方数不小于零;

  (3)对数式的真数必须大于零;

  (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

  (6)指数为零底不可以等于零,

  (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

  2.值域 : 先考虑其定义域

  (1)观察法

  (2)配方法

  (3)代换法

  3. 函数图象知识归纳

  (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的'图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .

  (2) 画法

  A、 描点法:

  B、 图象变换法

  常用变换方法有三种

  1) 平移变换

  2) 伸缩变换

  3) 对称变换

  4.区间的概念

  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

  (2)无穷区间

  (3)区间的数轴表示.

  5.映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f:A→B

  6.分段函数

  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

  (2)各部分的自变量的取值情况.

  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

  补充:复合函数

  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

  四.函数的性质

  1.函数的单调性(局部性质)

  (1)增函数

  设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

  如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

  注意:函数的单调性是函数的局部性质;

  (2) 图象的特点

  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

  (3).函数单调区间与单调性的判定方法

  (A) 定义法:

  ○1 任取x1,x2∈D,且x1

  ○2 作差f(x1)-f(x2);

  ○3 变形(通常是因式分解和配方);

  ○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

  ○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

  (B)图象法(从图象上看升降)

  (C)复合函数的单调性

  复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

  注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

  8.函数的奇偶性(整体性质)

  (1)偶函数

  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

  (2).奇函数

  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

  (3)具有奇偶性的函数的图象的特征

  偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

  利用定义判断函数奇偶性的步骤:

  ○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;

  ○2确定f(-x)与f(x)的关系;

  ○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

  (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

  (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

  9、函数的解析表达式

  (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

  (2)求函数的解析式的主要方法有:

  1) 凑配法

  2) 待定系数法

  3) 换元法

  4) 消参法

  10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

  ○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

  ○2 利用图象求函数的最大(小)值

  ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

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